jueves, 6 de octubre de 2011

I. RAYOS Y HACES

figura 2
Se llama rayo luminoso a una recta, como SO en la Fig. 2. según la cual se propaga la luz. Un rayo luminoso no es si no una abtraccion, al igual que una recta en geometría.
Un haz luminoso es un conjunto de rayos luminosos.
El haz luminoso no es si no una abstraccion, al igual que uan recta en geometría.
Un haz luminoso se llama divergente si el conjunto de los rayos emana de un punto y se propaga en direcciones diferentes Fig. 3. asi son los rayos que parten de una lampara de arco. El haz se llama paralelo si los rayos se propagan siguiendo una direccion dada. Tales son, practicamente los rayos solares Fig. 4. se lama convergente si el conjunto de rayos se dirige hacia un mismo punto Fig. 4 . asi los rayos que despues de haber atravesado una lente, convergente hacia el foco.

figura 3
figura 4
















II. SOMBRA Y PENUMBRA:

a). Caso de un punto luminoso.- supongamos S un foco de luz, lo suficiente pequeño para que pueda ser considerado como un punto, o una esfera opaca y, detrás de ésta, un pantalla Fig. 5.
figura 5

Los rayos SA, SB y SC son tangentes a dicha esfera y el conjunto de dichos rayos forma una superficie cónica que corta la pantalla E formando un circulo
A´B´C´ (siendo la pantalla E perpendicular a la dirección SO). todo punto, como P, exterior a dicho cono, recibe los rayos que parten de S, y se dice que esta en plena luz.
Todo punto como P´ situado en el interior de dicho como no puede recibir los rayos que parten de S, y se dice que esta sombra.
del mismo modo la pantalla E esta dividida por el circulo A´B´C´ en dos regiones, una exterior, situada en plena luz. y otra interior, en la sombra. el conjunto de puntos de la esfera, no iluminados, constituye la sombra propia de la esfera O.
la superficie del circulo A´B´C´se llama la sombra proyectada sobre la pantalla E.
b) Caso de una fuente cualquiera de luz.-
Sustituyamos luminoso S por una fuente cualquiera de luz de dimensiones apreciables y consideremos tangentes a la esfera los rayos que parten de los extremos de la fuente en los puntos A y B.
El examen de la Fig 6. permite ver, tanto el objeto como en la pantalla una zona en la que no penetra ningún rayo de luz: es la sombra (sombra propia sobre el objeto y sombra proyectada sobre la pantalla); esa zona está rodeada de otro a la que llegan solo una parte de los rayos luminosos: es la penumbra.
Se pueden distinguir, por tanto tres zonas: una de luz, otra de penumbra y otra de sombra.


Nota: si el cuerpo luminoso es mayor que la esfera opaca la región de sombra se reduce considerablemente Fig 7. en la practica solo entran en cuenta las partes iluminadas y una zona de penumbra la cual cobra gran importancia en el alumbrado por luz indirecta.

III. APLICACIONES.

Los eclipses se explican por la teoría de las sombras.

1º. Eclipses de Luna.- si la Luna penetra en el cono de sombra que proyecta la Tierra se produce un eclipse de luna Fig 8.
2º. Eclipses de sol.- si el cono de sombra proyectado por la Luna toca la Tierra se produce para los puntos alcanzados por él, un eclipse total de Sol; para los otros puntos situados en la penumbra, se produce un eclipse parcial de Sol Fig. 9.
Si lo que alcanza a la Tierra es la prolongación del como de sombra proyectado por la Luna, para los puntos alcanzados hay un eclipse anular de Sol, pues éste astro se presenta allí como un anillo luminoso que rodea el disco lunar Fig. 10.
3º. Fases de la Luna.- El contorno aparente de la Luna es el de su región iluminada. Este astro, que gira alrededor de la Tierra, puede presentársenos de diferentes maneras, según su posición con relación al Sol Fig. 11. Si la Luna pasa por el meridiano a mediodía, es invisible: es la Luna nueva o novilunio.
Si dicho paso se produce a las 18 horas, la Luna aparece como un semicírculo iluminado por el oeste; es el cuarto creciente. Si dicho paso se produce a medianoche, la Luna está en posición opuesta al Sol y aparece en forma de un círculo luminoso: es la Luna llena o plenilunio. Por ultimo, si dicho paso se produce a las 6 horas, la Luna se presenta como un semicírculo iluminado por el este: es el cuarto menguante.
4º. Imágenes producidas por las pequeñas aberturas.-Cámara oscura.- Si abrimos un pequeño orificio en la pared de una cámara oscura, se ve proyectarse en la pared opuesta, o sobre una pantalla blanca, la imagen, invertida, de los objetos situados en el exterior, delante del orificio.
El rayo luminoso que parte del objeto en el punto A, penetra por el orificio y llega a la pared opuesta de la cámara en el punto a, que puede considerarse la imagen del punto A Fig. 12.

VI. VELOCIDAD DE LA LUZ

La experiencia muestra que la luz se propaga con movimiento uniforme cuya velocidad varia según la naturaleza del medio que atraviesa.
En el vació y, prácticamente, en el aire:
V = 300,000 Kilómetros por segundo.
 En el agua:  V' = 225,000 km/s
 En el cristal:  V'' = 175,000 a 200,000 km/s

Ejercicios
1.- Un poste vertical tiene 1.80 m de altura y la longitud de su sombra es de 1.65 m. ¿Cuál es la altura de un árbol próximo cuya sombra, en el mismo momento, mide 18.25m?
2.- Sabiendo que la luz tarda 8 minutos 16 segundos en llegar al Sol a la Tierra, calcular la distancia entre estos dos astros.
3.- El filamento de una lámpara de incandescencia tiene una longitud de 3 cm; estando colocada dicha lámpara a 1 m de un pequeño orificio practicado en el lado de una caja que tiene la forma de un cubo y cuyo lado mide 20 cm, ¿cuál es el tamaño de la imagen que se forma en el lado opuesto, en el interior de dicha caja?

FOTOMETRÍA

Esta disciplina de la física se ocupa de la medición de las intensidades luminosas. La fotometría fisiológica, que forma parte de la óptica, trata de la energía irradiada en forma de radiaciones visibles y haciendo intervenir en las mediciones la sensibilidad del ojo.

I. DEFINICIÓN

Flujo luminoso.
Se llama flujo luminoso la cantidad de energía irradiada cada segundo y en todas direcciones en forma de radiaciones luminosas.

Supongamos que la fuente luminosa es el centro de una esfera hueca que la rodea por todas partes: la totalidad del flujo se distribuye sobre la superficie interior de dicha esfera; pero esa distribución
puede hacerse, ya por igual, es decir, de modo que superficies iguales reciban flujos iguales, ya que desigualmente, es decir, de manera que a superficies iguales correspondan flujos desiguales.

Intensidad luminosa

La intensidad luminosa caracteriza la emisión de luz en una dirección dada.

Su unidad es la bujía-patrón, llamada también candela (cd) o la bujía-patrón actual, llamada bujía nueva (bn), la cual se define en función de la luz emitida por un orificio de área de 5 mm practicado en un recinto de óxido de torio que contiene platino a la temperatura de fusión (1,785ºC). Definida en esta forma, la bujía nueva es mas fácil de producir que la antigua.
Existen también lámparas eléctricas patrón que funcionan en condiciones bien determinadas y fáciles de reproducir, de manera que la intensidad de la luz que emiten en dirección dada es siempre la misma.
Supongamos ahora una fuente luminosa que indica por igual en todas direcciones una intensidad de luz una bujía y colocada en el centro de la esfera hueca, citada en el párrafo precedente. Estableceremos que la unidad de flujo luminoso es el flujo que emana de esta fuente puntual a través de un cono, cuyo vértice es esta fuente y que tenga como ángulo de apertura el ángulo sólido unidad. Esta unidad, llamada lumen (lm) se define más simplemente como: flujo luminoso que emite una fuente puntual de intensidad uniforme de 1 bujía  y que es recibida por una superficie de 1 m de una esfera de 1 m de radio, en cuyo centro está situada la fuente. (Fig. 13).

Iluminación.


Cuando una superficie recibe cierto flujo luminoso, se encuentra tanto más iluminada cuanto mayor es dicho flujo, y viceversa. Esta densidad del flujo luminoso constituye la iluminación, y su unidad correspondientes es el lux (lx). El lux es, pues, la iluminación producida por un flujo de un lumen sobre una superficie de un metro cuadrado colocada normalmente a la dirección de dicho flujo. Es, por tanto, la iluminación producida por una fuente luminosa de una bujía de intensidad, sobre la cara interna de una esfera de 1 metro de radio, en cuyo centro se encuentra colocada dicha fuente. De ahí el nombre de bujía-metro, dado igualmente al lux.
El fot (ph) equivale a 10,000 lux.

Brillo.


Cuando se trata del alumbrado, surgen frecuentemente problemas creados por el deslumbramiento, y es preciso considerar el brillo intrínseco de la fuente luminosa. Se observa, en efecto, que de dos fuentes que emiten el mismo flujo luminoso, deslumbra menos la de superficie menor.
Se llama brillo de una fuente el cociente de su intensidad (en la dirección en que se efectúa la observación), por la superficie aparente de esta fuente (vista desde el punto de observación). La unidad, el stilb (sb), es el brillo de una fuente de 1 bujía que mide 1 cm2 de superficie aparente, en las condiciones dichas.

Iluminación y cantidad de iluminación.


En ciertas aplicaciones prácticas de la óptica, los resultados dependen del tiempo en que actúa la iluminación. Llamase cantidad de iluminación el producto de iluminación por el tiempo y se expresa en lux-segundos. El lux-segundo (lxs) es la cantidad de iluminación que recibe en 1 segundo una superficie cuya iluminación es de 1 lux.


II. LEY DE KEPLER. CONSECUENCIAS

Es un medio homogeneo perfectamente trasparente, la cantidad de luz recibida por una superficie S es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de dicha superficie a la fuente luminosa.

Sea O un punto luminoso, AB y CD las secciones de dos superficies planas paralelas, que representan las secciones de un cono COD a las distancias OB y OD del vértice O (Fig. 14).

Las secciones del cono son proporcionales a los cuadrados de sus distancias al vértice:

Toda la luz que llega a la pantalla AB, llegará también a la CD en virtud de la ley de la propagación rectilinea de la luz; es decir, que las dos pantallas, AB y CD reciben la misma cantidad de luz. La cantidad de luz recibida por unidad de superficie en una y otra pantalla es inversamente proporcional a la superficie de las dos secciones. Llamando Q a la cantidad de luz recibida por unidad de superficie en AB, Q' la recibida por unidad de superficie en CD, y R la cantidad total de luz recibida tanto por AB como por CD, se tiene:
R = Q x sección AB
R = Q' x sección CD
de donde: 

Si dos focos luminosos de intensidad I e I' producen la misma iluminación sobre una pantalla situada a la distancia D del primer foco y D' del segundo, las intensidades son proporcionales a los cuadrados de sus distancias a la pantalla.

En efecto, si E es la iluminación producida por los dos focos sobre la pantalla, siendo I e I' por definición las iluminaciones producidas a la unidad de distancia, tendremos para el primer foco:

y para el segundo:

Dividiendo miembro a miembro estas dos igualdades, tendremos:

lo que demuestra el teorema enunciado.

III. FOTÓMETROS

Las consideraciones precedentes permiten medir por el método de comparación la intensidad de una fuente luminosa utilizando los aparatos llamados fotómetros.
Su principio se basa en la obtención de dos iluminaciones iguales, una producida por una fuente luminosa patrón y la otra por la fuente que se estudia. Las intensidades de las dos lámparas son proporcionales a los cuadrados de sus distancias al dispositivo fotométrico, cuando se ha obtenido el equilibrio de las iluminaciones producidas por dichas lámparas.
El fotómetro de Bunsen, llamado también el de la mancha de aceite (Fig. 15) es un dispositivo muy sencillo. Consta esencialmente de una pantalla formada de papel blanco, en cuyo centro hay una mancha grasa, y de dos fuentes luminosas, una a cada lado de la pantalla.
Se iluminan las dos caras de la pantalla y se desplaza una de las fuentes hasta que se vea desaparecer la mancha a ambos lados del papel.
Si la fuente S es una lampara patrón de intensidad conocida I, la intensidad I' de la fuente S' será que: 

Para medidas de precisión ya no se emplea el fotómetro de mancha traslúcida; no obstante, aún se utiliza el mismo método, que consiste en la comparación de dos superficies iluminadas por dos fuentes diferentes, En algunos aparatos, para facilitar esta comparación se hacen coincidir en una sola las imágenes con el fin de apreciar, con la mayor exactitud, la posición en la cual las iluminaciones son iguales.

Ejercicios

1.- ¿A que distancia de una pantalla ha de colocarse una luz para que otra, de intensidad luminosa  triple, colocada 0.60 m más lejos de dicha pantalla, produzca en ella la misma iluminación?
2.- Una lámpara y una vela distan entre sí 4.15 m; sus intensidades están en la proporción de 6 a 1. ¿A qué distancia de la vela deberá colocarse una pantalla perpendicular a los rayos luminosos que se encuentren en la recta que une dichas fuentes de luz, para que quede igualmente iluminadas para ambas?

CAPITULO I

REFLEXIÓN DE LA LUZ - ESPEJOS PLANOS
I. REFLEXIÓN SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA. DEFINICIONES
Cuando un rayo luminoso encuentra una superficie plana pulimentada, se refleja siguiendo dos leyes que luego enunciaremos. La superficie pulimentada recibe el nombre de espejo; el punto en que el rayo encuentra al espejo se llama punto de incidencia; la parte de rayo comprendida entre el punto de partida y el de incidencia es el rayo incidente; a partir del punto de incidencia, el rayo recibe el noembre de rayo reflejado.
El ángulo i que forma el rayo incidente SI (Fig. 17.) con la normal IN (perpendicular al plano del espejo en el punto de incidencia) se llama ángulo de incidencia.
El ángulo r que forma el rayo reflejado IR con esta normal es el ángulo de reflexión.
El plano formado por el rayo incidente y la normal se llama plano de incidencia.

II. LEYES DE LA REFLEXIÓN

Primera ley.- El rayo incidente, el reflejado y la normal en el punto de incidencia están en un mismo plano (plano de incidencia).
Segunda ley.- El ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

Estas leyes se comprueban por sus consecuencias. Pueden, sin embargo, comprobarse experimentalmente haciendo incidir un haz de rayos solares en un espjo plano, dispuesto horizontalmente, y poniendo perpendicularmente sobre este espejo un semicírculo graduado de modo que el rayo incidente esteé plano del semicírculo y el punto de incidencia en el centro O del mismo (Fig. 18).

III. ESPEJO PLANO. IMÁGENES DADAS POR UN ESPEJO PLANO

Imagen de un punto.
La imagen que de un punto produce un espejo plano es un punto simétrico del primero con relación al plano de dicho espejo.

Sea un espejo MM', A un punto luminoso, AI un rayo incidente, IN la normal e IR el rayo reflejado (Fig. 19). La primera ley nos permite representar estos diversos elementos, tomando como plano incidente el de la figura.
Bajemos desde el punto A la perpendicular AH al espejo, que será paralela a IN y que, por consiguiete, estará en el plano, de la figura. Prolonguemosla en una longitud HA' = AH; el punto A' así obtenido es el simétrico A con relación al espejo.
Decimos que el rayo reflejado IR, prolongado pasa por A'. En efecto, según la segunda ley de la reflexión, los ángulos AIN y NIR son iguales.
AIN = NIR
Esta igualdad lleva consigo de los ángulos:
IAH = IA'H
lo que indica que el triángulo AIA' es isósceles.
Como IH es la altura, es también la mediana, y por tanto, A y A' son simétricos.
El resultado de esta demostración es independiente de la posición del punto I. Se deduce de esto que todos los rayos incidentes que provienen del punto A originan rayos reflejados, cuya prolongación pasa por A'. El haz de rayos reflejados obra,

pues, exactamente, como si proviniera directamente del punto A' por lo que, colocando el ojo en el trayecto de dicho haz, se ve un punto en A', que es la imagen A.
Imagen de un objeto cualquiera.

De la ley precedente se deduce la de la información de la imagen de un objeto cualquiera. En efecto, siendo la imagen de cada uno de los puntos del objeto el simétrico con relación al espejo, la imagen del objeto, que el conjunto de la imágenes de los diferentes puntos del mismo, será también simétrica de éste. En la figura 20, la imagen de la recta AB es la recta A'B'.

Naturaleza del objeto y de las imágenes.
El punto luminoso de la figura 19 así como el objeto de la figura 20 emiten luz y los rayos luminosos se dirigen realmente hacia el espejo. Son objetos reales, y se dice que un objeto real si los rayos luminosos se orginan en él.
Las imagenes producidas en un espejo no tienen existencia real, no existen más que para nuestro ojo, que recoje los haces luminosos aparentemente procedentes del espejo. pero una pantalla no los capta. Son prolongaciones hacia la parte posterior del sistema óptico constituido por el espejo. Se dice que estas imágenes son virtuales.
Puede concebirse también una imagen real de un objeto virtual.

Experiencia: La imagen A' del punto luminoso A. obtenida por medio de una lente L, es una imagen real que se puede captar sobre la pantalla P. Pero si intercalamos un espejo M entre la lente y la pantalla, éste intercepta los rayos que recibe, y se observa que éstos convergen en un punto A', simétrico de A' con respecto al espejo; basta colocar una pantalla en el plano de A'' para que se forme en ella una imagen. Se dirá entonces que el punto A'' es una imagen real del punto A', el cual se ha convertido en un objeto virtual. (Fig. 21 a y b).

Conclusión: En un espejo plano, la imagen de un objeto real es virtual, plana y simétrica con respecto al plano del espejo; la imagen es real, si el objeto es virtual.

Campo de un espejo plano.

Se llama campo de un espejo plano la región del espacio vista por reflexión sobre dicho espejo. El campo depende, pues, de la posición del observador y de la dimensión del espejo. El ojo O percibe en el espejo M (Fig. 22) la imagen del punto A, por-

que el rayo luminoso, procedente de A y reflejado por el espejo, llega al ojo. El campo es la región situada delante del espejo que corresponde al ángulo sólido, determinado por la posición O' simétrica del ojo (detrás del espejo), y por la superficie del espejo.

IV. ROTACIÓN DE UN ESPEJO PLANO

Rotación del radio reflejado.

Sea un espejo M, sobre el cual se hace llegar un rayo incidente SI (Fig. 23); Supongamos que se

hace girar luego el espejo un ángulo a, alrededor de un eje, perpendicular al plano de incidencia, y pasando por el punto I.
El rayo reflejado que ocupaba la posición IR toma una nueva posición IR'. Propongámonos determinar el ángulo que habrá girado el rayo IR.
RIR' = SIR' _ SIR = 2 SIN' _ 2 SIN
RIR' = 2 (SIN' _ SIN) = 2 NIN'
Luego, cuando la normal gira un ángulo a

RIR' = 2 a

Puede enunciarse que si el espejo gira un ángulo a, el rayo reflejado, correspondiente a un rayo incidente fijo, gira un ángulo doble, 2 a. La propiedad citada subsiste, aunque el eje no pase por I.

Rotación de la imagen.

Se demuestra fácilmente que si se hace girar un espejo un ángulo a en torno de un eje situado en el plano se éste, la imagen de un objeto fijo se desplaza en el mismo sentido, y en torno del mismo eje, un ángulo doble 2 a (Fig. 24).

Las imágenes de A se hallan sobre la circunferencia de centro O (eje de rotación) y de radio OA.

Aplicaciones del espejo giratorio.

1º Medida de las rotaciones débiles por el método de Poggendorf (Fig. 25). Este método se emplea para lectura de las indicaciones en ciertos aparatos de la boratorio, en especial los galvanómetros.
Aparte de que la sensibilidad se encuentra multiplicada por dos, debe observarse que el rayo luminoso obra como una aguja indicadora de la longitud que se desee.
La parte móvil del aparato está provista de un espejo pequeño.
El haz luminoso incidente que ilumina el espejo se refleja hacia una regla graduada, montada a una distancia D del espejo. El ángulo de rotación del espejuelo a se amplía a 2 a por medio del rayo reflejado y se mide por el desplazamiento d de la mancha luminosa sobre la regla.
El espejo giratorio tiene también aplicación en las medidas de aspesores muy pequeños, en el sextante de los marinos, etc.

V. ASOCIACIÓN DE ESPEJOS PLANOS

Espejos paralelos.

Pueden ocurrir dos casos: que los dos espejos sean paralelos, o que formen ángulo.
Supongamos primero dos espejos planos paralelos M y M' y nu punto luminoso A, situado entre ellos (Fig. 26).

El punto A produce en el espejo M' una imagen A1, simetrica de A con relación al espejo. Pero un rayo reflejado una primera vez sobre el espejo M', se comporta absolutamente como si viniera el punto A1, y por consiguiente, al reflejarse sobre el segundo espejo M en I2, por ejemplo, parecerá venir del simétrico de A1 con relación a M, es decir de la A2. Por la misma razón, los rayos que hayan experimentado tres reflexiones tales como el rayo I3 I4, parecerán venir del simétrico de A2 con relación a M', es decir, de A3.
Este razonamiento no demuestra que los rayos procedentes del A dan, después de una primera reflexión sobre el espejo M', una serie infinita de imágenes cada vez más alejadas del punto A. El mismo razonamiento se aplica a los rayos que procedentes del punto A se reflejan por primera vez en el espejo M; éstos producen también una serie de imágenes intercaladas entre las precedentes. Si en lugar de un punto A se coloca un objeto cualquiera entre los dos espejos, las dos series de imágenes no son indenticas, sino que unas reproducen una de las caras del objeto y las otras la otra.

Espejos angulares.

El caso en que los dos espejos están en ángulo recto presenta interés especial (Fig. 27).
En efecto, en este caso, el punto A tiene una imagen A1,simétrica de A con relación a OM, resultante de una primera reflexión en el espejo OM, y una imagen de A', simétrica con relación a OM, como resultante de una primera reflexión en el espejo a OM', como resultante de una primera reflexión en el espejo OM'. A cada una de estas dos imágenes A1 y A' sucede una de A con relación al punto O. Por tanto, un sistema de dos espejos en ángulo recto no produce más que tres imágenes de un mismo punto (de las cuales una es doble).
Esta coincidencia de dos imágenes de orden n peuede producirse para otros ángulos diferentes al recto; basta para ello que el ángulo formado por los espejos esté contenido un número par de veces en 360º (cuatro rectos).


En general el numero n de imágenes formadas por sistema será:
 n = 360 / a - 1
Siendo a el ángulo que forman entre sí los espejos.
Se aprovecha este fenómeno en el calidoscopio, aparato que consta, esencialmente, de espejos forman un ángulo de 60 y entre los que se han colocado trozos pequeños de vidrio  coloreado. Estos forman, con sus imágenes, rosetones y otras figuras regulares de efectos bellísimos. La Fig 28 representa las primeras imágenes obenidas con este aparato.

 VI. DIFUSIÓN
Una sustancia mate presenta infinidad de aspezas que pueden considerarse como otros tantos pequeños espejos planos que reflejan la luz en todas direcciones (Fig. 29). Este fenómeno recibe el nombre de difusión.

Gracias a este fenómeno de difusión, vemos los objetos que nos rodean y que no son luminosos por si mismos.
Ejercicios
1.- Estando el ojo del observador en un punto O delante de un espejo de forma rectangular, ¿en qué región del espacio deberá encontrarse un objeto para que su imagen sea visible desde el punto O?
2.- Supongamos dos espejos planos paralelos, M y N, situados uno de otro a la distancia d. Colocamos un punto luminoso S, en la recta AB, perpendicular a ambos espejos y a una distancia a de A. Otro punto O se coloca también a una distancia a del espejo M y a una distancia h de S. Se desea saber en qué punto encontrarán estos dos espejos: 1 un rayo luminoso que partiendo de S se refleja en N y que pasa por O; 2 un rayo que partiendo de S, reflejado en N, y después en M, pasando por O. Los puntos del espejo estarán determinados, en cuanto a su posición, por sus distancias a A y a B.
3.- Demostrar que si un rayo luminoso SI encuentra sucesivamente las caras de dos espejos planos M y N que forman un ángulo a, el último rayo reflejado forma con la dirección del rayo incidente SI un ángulo 2a.
CAPITULO II
ESPEJOS ESFÉRICOS
Se llama espejo esférico a toda superficie esférica que refleja la luz.
Se dice que un espejo es cóncavo o convexo, según que la superficie reflectora esté vuelta o no hacia el centro O de la esfera a que pertenece el espejo. O es el centro de curvatura y OA el radio de curvatura (Fig. 19).
Se llama abertura del espejo al ángulo AOB bajo el cual se ve, desde el centro de curvatura, el diámetro de la base.
En el estudio de los espejos esféricos, no consideraremos más que los espejos de pequeña abertura y gran radio de curvatura.
Se llama eje principal del espejo la perpendicular OS trazada desde el centro de curvatura a la base del espejo. Dicha perpendicular corta a la esfera en un punto S, que se denomina vértice del espejo.
Cualquier otro radio de la esfera se denomina eje secundario. De igual modo, sólo consideraremos en nuestro estudio los rayos luminosos que tengan una pequeña inclinación respecto del eje principal.
ESPEJOS CONCAVOS
I. FOCO PRINCIPAL, FOCOS SECUNDARIOS, PLANO FOCAL
Si situamos un espejo cóncavo de tal manera que su eje principal sea paralelo a los rayos solares, éstos, después de reflejarse, producen un haz de rayos convergentes, lo que podremos comprobar desplazando una pequeña pantalla E ante el espejo (Fig. 20). Cuando la mancha producida sobre la pantalla sea lo más pequeña posible; la imagen lograda será muy brillante y caliente; es la imagen del sol. Se podría en dicho punto quemar un trozo de yesca o una cerilla.
El punto F, en que dicha imagen se forma, recibe el nombre de foco principal del espejo, siendo posible comprobar que dicho punto se encuentra sensiblemente en el punto medio de OS. La distancia SF se denomina distancia focal, de donde se deduce:

Si desplazamos del espejo de tal manera que la dirección que los rayos solares sea una cualquiera, comprobaremos que la mancha se forma en otro punto F1, situado sobre el eje secundario, a una distancia S1F1 sensiblemente igual a f, y que se denomina foco secundario (Fig. 21).

Si inclinamos el espejo, haciéndole tomar diversas posiciones, comprobaremos que todos los focos secundarios se encuentran en el plano perpendicular al eje principal, que se denomina plano focal.
La aplicación de las leyes de la reflexión conduce a los mismos resultados.
En efecto, consideremos un espejo cóncavo, su eje principal CO y un rayo SI paralelo a dicho eje principal (Fig. 22); el rayo SI se refleja en I según IR como sobre un espejo plano tangente en I al espejo formando un ángulo r=i.
 
En el triángulo IFO, el ángulo 3 es igual al ángulo i, por ser alternos internos, de donde se deduce que dicho triángulo es isósceles y, por tanto:
IF = FO
Y como nosotros consideramos solamente espejos de pequeña abertura y gran radio de curvatura, IF es sensiblemente igual a CF; podemos, por tanto, decir que F está situado en el punto medio de CO.
De igual modo se demostraría que el foco secundario F1 (Fig. 23) está situado en el punto medio de OC1.

En consecuencia, todos los focos secundarios se encuentran en una esfera focal de centro O y de radio  .A causa de la débil abertura del espejo, esta esfera puede confundirse con el plano tangente que pasase por el foco principal. Este plano tangente es el plano focal antes definido.
Rayos fundamentales.
En cuanto digamos a continuación, tendremos en cuenta las especiales propiedades que tienen determinados rayos (Fig. 24):

1. Todo rayo incidente paralelo a un eje (principal o secundario) es reflejado hacia el foco correspondiente (1);
2. Recíprocamente, todo rayo incidente que pase por un foco (principal o secundario) es reflejado paralelamente al eje correspondiente (2);
3. Todo rayo incidente que pase por el centro de curvatura es reflejado en su misma dirección (puesto que incide normalmente en el espejo) (3).
II. IMAGEN DE UN OBJETO. ESTUDIO EXPERIMENTAL
Se verifica experimentalmente con una bujía, cuya llama se encuentra sobre el eje principal del espejo, que:
1. Si la bujía está muy separada, se obtiene una imagen real (es decir, que puede ser recibida sobre una pantalla), invertida, muy pequeña y cercana del foco.
2. Si la bujía se aproxima al centro óptico O, la imagen es siempre real e invertida, pero alejándose de F hacia O y aumentando (Fig. 25).

3. Cuando la bujía llega a O, se comprueba que su imagen está dispuesta simétricamente con respecto al eje principal (Fig. 26).
4. Cuando la bujía se encuentra entre O y F, la imagen continúa siendo real e invertida, pero mayor que la bujía y situada más allá de O.
5. Cuando a bujía se encuentra en F, la imagen se forma en el infinito.
6. Y, finalmente, cuando la bujía se desplaza de F hacia C, el ojo percibe detrás del espejo, una imagen virtual recta ampliada, que se aproxima al espejo al mismo tiempo que la bujía (Fig. 27).
7. En el punto C, bujía e imagen se confuden.
III. CONSTRUCCIÓN DE LA IMAGEN
Las propiedades de los rayos fundamentales permiten construir la imagen de un objeto dado, de acuerdo con los resultados precedentes. Sea una recta luminosa AB colocada ante un espejo cóncavo M perpendicularmente al eje principal. Su imagen será perpendicular al eje principal. Para derterminarla, basta construir la imagen del punto A.
1. AB está muy alejada. Entre los rayos emanados de A existe uno, que es paralelo al eje principal, y que se refleja, pasando por el foco, y otro, AO, que pasa por el centro de curvatura y se refleja sobre sí mismo. Estos dos rayos se encuentran en A', imagen de A, de donde se obtiene en A'B', perpendicular al eje principal, la imagen de AB, que es real, invertida, menor que el objeto y situada entre F y O. (Fig. 30).
La imagen se forma en el foco, aun en el caso de que A y B estén en el infinito.
2. AB se acerca; el rayo AO, se inclina cada vez más sobre el eje principal. A'B' aumenta.
3. AB está a la distancia 2 f.
AB = A'B' (Fig. 31)
4. AB está situado entre O y F:
A'B' > AB (Fig. 32)
5. AB está situado entre F y C. Los rayos que parten de A no se encuentran en el sentido en que marchan relamente, sino que parecen venir todos, después de la reflexión, de un punto A' situado detrás del espejo y que es la imagen virtual de A.
A'B' > AB, pero virtual (33).

La figura 34 representa la marcha de un haz luminoso que encuentra un espejo cóncavo.
IV. FÓRMULAS DE LOS ESPEJOS
a) Volvamos a la construcción de la imagen del objeto AB y consideremos el rayo ACA' (Fig. 34).

Los ángulos ACB y A'CB' son iguales en virtud de las leyes de la reflexión. Los dos triángulos rectángulos ACB y A'CB' son, por tanto, semejantes; de donde podemos deducir las relaciones siguientes:

Si se considera CB = p distancia del objeto al espejo, CB' = p' distancia de la imagen al espejo:
AB = o, tamaño del objeto
AB' = i, tamaño de la imagen

La relación  recibe el nombre de aumento.
b) Por otra parte, los dos triángulos rectángulos semejantes AOB y A'B'O permiten esteblecer:

De donde se deduce:
o:
efectuando el producto de los extremos por los medios tendremos:
pp' - 2 p' f = 2 pf - pp'
y por lo tanto :
2 pf + 2 p' f = 2 pp'
Dividiendo por 2 pp'f, tendremos:
 

En esta formula, f es siempre positivo: p y p' son positivos si están del mismo lado de C que el centro óptico O, y negativos en el caso contrario. De donde se deduce que los valores positivos corresponden a objetos e imágenes reales, y los valores negativos a imágenes y objetos virtuales.
c) Fórmula de Newton.- En lugar de contar las distancias de la imagen y del objeto a partir del vértice del espejo, pueden contarse a partir del foco F. Designando por  la distancia (FB) del objeto al foco y por  la distancia (FB') de la imagen al foco, tendremos (Fig. 35):

V. DISCUSIÓN DE LA FÓRMULA DE LOS ESPEJOS CÓNCAVOS
Hagamos variar en la fórmula (2) el valor de p desde +  hasta el espejo, y del otro lado del espejo hasta -  , considerando que el objeto llega a ser entonces virtual.
1. Cuando p es infinito, la imagen se forma en el foco; en efecto tendremos:
                de donde:
Cuando el objeto se acerca, el término  , al principio nulo, aumenta,  disminuye y, por consiguiente, p' aumenta: la imagen se aleja del foco, y al mismo tiempo se amplía, pues  aumenta; cuando p = 2 f, tendremos que p' = 2 f, y la imagen tendrá las mismas dimensiones que el objeto.
En tanto que el objeto se acerca al foco, la imagen no cesa de aumentar, siendo ya mayor que el objeto y alejándose hacia el infinito.
2. Cuando el objeto pasa por el foco, la imagen que primeramente era real e invertida, pasa bruscamente detrás del espejo a - . Es directa y virtual. Se acerca al espejo cuando el objeto se acerca al mismo (Fig. 36).
3. Finalmente, cuando el objeto, virtual, está situado entre el espejo y -  se verifica:
4. Puede en un caso cualquiera determinarse p y p', y después calcular f mediante la aplicación de la fórmula (2).
VII. APLICACIONES DE LOS ESPEJOS CÓNCAVOS
Se encuentran estos espejos en los telescopios (en donde se emplean espejos parabólicos, ya que producen imágenes más perfectas que los esféricos), en los microscopios (iluminación de las preparaciones). Su poder de aumento (imagen virtual) se utiliza en diversas aplicaciones.
ESPEJOS CONVEXOS
Propiedades.
Los espejos convexos tienen mucha menos importancia que los cóncavos. Su estudio es análogo al de éstos y conduce a los resultados siguientes:
1. Existe un foco situado en el medio de la distancia comprendida entre el centro y el vértice del espejo; por encontrarse este foco detrás del espejo, es virtual.
2. Todo rayo paralelo al eje principal se aleja de éste después de reflejado y su prolongación pasa por el foco.
3. Todo rayo cuya prolongación pasa por el centro del espejo no se desvía después de reflejado.
En consecuencia, cuando el objeto es real, la imagen es siempre virtual, directa y menor que el objeto. (Fig. 40).
 
Cuando el objeto se acerca al espejo, la imagen se amplía.
La fórmula  se aplica a los espejos convexos considerando f como negativo.
Aplicaciones de los espejos convexos.
Son poco numerosas. La más conocida es su empleo como retrovisores, justificado por su campo más extenso que el de un espejo plano.
Ejercicios
1.- Una recta luminosa de 10 cm de longitud se coloca, perpendicularmente al eje principal, a 50 cm de un espejo cóncavo cuya distancia focal es de 20 cm. Construir gráficamente la imagen de esta recta. Medirla sobre la gráfica, así como si distancia al espejo. Comprobar por el cálculo los resultados obtenidos.
2.- Sobre el eje principal de un espejo cóncavo de distancia focal f, y según la dirección de este eje, se coloca una recta luminosa AB de longitud 2 1. ¿A qué distancia del vértice deberá colocarse el punto A para que la imagen A'B' de AB se superponga a esta recta?
3.- El radio de un espejo cóncavo es R = 1 m; se pide la posición de la imagen A' de un punto luminoso situado a 0.25 m de dicho espejo.
4.- Hallar la posición de la imagen A' de un punto luminoso A situado a 12 m de un espejo cóncavo cuya distancia focal es de 4 cm.
5.- Dos espejos esféricos cóncavos idénticos, de distancia focal f, se colocan a una distancia d uno de otro, las superficies cóncavas enfrentadas y con el eje principal común. ¿En qué punto del eje debe colocarse un objeto luminoso para que los rayos reflejados, primero por un espejo y luego por el otro, formen una imagen en ese punto? Calcular la relación entre las dimensiones de la imagen y el objeto. Aplicación numérica: d = 90 cm; f = 20cm.
CAPITULO
REFRACCIÓN DE LA LUZ
I. DEFINICIONES
La experiencia del "palo roto" nos proporciona una idea del fenómeno de la refracción.
Un palo ABC sumergido en el agua parece roto en B y levantado en BC' (Fig. 41). En realidad, si


el ojo cree ver en C' el punto C, lo que ocurre es que los rayos emanados de C le llegan como si viniesen de C', o, dicho de otra manera, los rayos emanados de C, al salir del agua, sufren una desviación.
En general, cuando un rayo luminoso pasa de un medio trasparente a otro, experimenta al atravesar la superficie de separación de los dos medios, una desviación brusca, y esa desviación es precisamente el fenómeno que se conoce con el nombre de refracción.
El rayo incidente es que llega hasta línea de separación de los dos medios (SI) (Fig. 42).
El rayo refractado es el que penetra en el segundo medio (IR).
El ángulo de incidencia (i) es el ángulo que forman el rayo incidente con la normal en punto de insidencia.
El ángulo de refracción (r) es el ángulo que forma el rayo refractado con esa misma normal.
El plano de incidencia es el plano determinado por el rayo incidente y la normal.
A continuación veremos que un fenómeno de refracción viene acompañado de otro fenómeno, el de la dispersión.
En el estudio que sigue supondremos que la luz utilizada en nuestras investigaciones se compone de rayos de un solo color, o dicho de otro modo, nos ocuparemos exclusivamente de la luz monocromática.
 
II. LEYES DE LA REFRACCIÓN
La refracción se produce de acuerdo con las dos leyes siguientes, enunciadas por Descartes:
1. El rayo incidente, el rayo refractado y la normal al punto de incidencia están en un mismo plano.
2. La relación entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción, es constante.
Comprobación.-Primera Ley.-Sobre el fondo de una vasija marquemos la traza de un plano de incidencia; seguidamente, después de haber vertido agua en la vasija, comprobemos que el rayo refractado corta la mencionada traza xy (Fig. 43).

Segunda ley.-Dispongamos una vasija de cristal (Fig. 44). de tal modo que su pared AB quede situada sobre una mesa horizontal y reciba de un espejo M el rayo reflejado OA del rayo incidente SO. Dicho rayo deja en sombra la porción ABH.
Cuando llenemos de agua la vasija observaremos que la sombra queda entonces limitada en ABK.
Midamos, con ayuda de una regla graduada, o mejor sobre divisiones practicadas en las paredes AB y BC, las longitudes AB, BH, BK, de donde deducimos:

Obteniendo el cociente   hallaremos que es igual  .
Haciendo variar i, comprobamos que este cociente. Por otra parte, si situamos el agua por otra sustancia, dicho cociente adquiere otro valor, que depende de la sustancia.
 
De las anteriores experiencias se deduce que, si un rayo luminoso pasa del aire al agua se aproxima a la normal. Lo que nos permite afirmar que el segundo medio es más refrigente que el primero. Recíprocamente, la experiencia demuestra, que si un rayo luminoso pasa del agua al aire, se separa de la normal, lo que nos permite afirmar que el segudno medio es menos refrigente que el primero.
III. ÍNDICES DE REFRACCIÓN
La relación constante  define una sustancia transparente con respecto a otra. Se la denomina indice de refracción del medio dentro del cual se propaga el rayo refractado con relación al medio en que se propaga el rayo incidente.
Se expresa:

El fenómeno de la refracción se debe a que la velocidad de la luz no es la misma en ambos medios; si V y V' son las velocidades respectivas de la luz en el primero y en el segundo medio, tendremos:

Siendo n el índice de refracción del segundo medio con relación al primero. Si n' es el índice del primer medio con relación al segundo, tendremos:

1. Consecuencia.- Al ángulo de incidencia i en el aire corresponde el ángulo de refracción r en el agua, y recíprocamente, el ángulo de incidencia r en el agua, corresponde el ángulo de refracción i én el aire:

Éste es el principio del retorno inverso de la luz. Se llama índice de refracción absoluto de una sustancia a su índice de refracción en relación al vacío.
En la práctica, no existe diferencia entre los índices de refracción con relación al vacío y con relación al aire.
He aquí algunos índices con relación al vacío:
Aire .................... 1.000294 (prácticamente: 1)
Agua ..................... 1.336 (aproximadamente:   )
Vidrio (crown) ... 1.53 (aproximadamente:   )
Vidrio (flint) ........ 1.57
Sulfuro de carbono 1.63
Diamante .............. 2.47 a 2.75.
2. Construcción geómetrica del rayo refractado (Construcción de Huyghens).-Permite construir el rayo refractado conociendo la posición del rayo incidente y viceversa. Supongamos (Fig. 45) que xy es la superficie de separación de los medios, n el índice de refracción del segundo medio con relación al primero y SI un rayo incidente.
 
Desde el punto I se trazan, en el segundo medio, dos circunferencias de radios R y R', tales que:

Se prolonga SI hasta que encuentre a K, punto en que corta a la circunferencia de radio R'; desde K se

traza la perpendicular P K a xy, la cual corta a la otra circuferencia en R. IR es el rayo refractado. En efecto, los dos triángulos IPK e IRP permiten enunciar:
luego:

IV. DISCUSIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE DESCARTES
Ángulo límite
1. Caso:
Sea xy la superficie de separación. Nos propornemos investigar lo que ocurre con todos los rayos incidentes que encuentran dicha superficie de separación de los dos medios al pasar por el punto I (Fig. 46).

De estos rayos, el NI atraviesa la superficie sin experimentar ninguna desviación.
Otro rayo, tal como el SI, se refracta formando un ángulo r < i.
Si el rayo se desplaza de NI, hacia SI, el ángulo se estremece. El ángulo r también crece, per presenta menor aumento que el ángulo i.
Cuando i = 90 (insidencia rasante), r tiene su valor maximo  , que viene dado por:

  se denomina el ángulo límite del segundo medio con relación al primero.
Todos los rayos incidentes se refractan en el interior del cono cuyo ángulo en el vértice es . Valores del ángulo límite  :
Agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 27' 40''
Crown glass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 31'
Flint glass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 41'
Diamante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 42'
2 Caso:

Dicho de otro modo, el segundo medio es más refrigente que el primero; éste es el caso de los rayos que pasan del agua al aire. Sea xy la superficie de separación de los dos medios y S un punto luminoso (Fig. 47)
 
El rayo normal SI la atraviesa sin sufrir ninguna desviación. Un rayo SI' se refracta siguiendo la línea I'R. Puede verse en la figura que el mayor de los ángulos está representado por i y el otro por r, cualquiera que sea el sentido de la dirección de la luz. De estos rayos existe uno, el SI'', que se refracta según I'', formando un ángulo r =  , dado por la ecuación:

El valor del ángulo límite  es el mayor valor que puede tomar el ángulo de incidencia para que el rayo incidente llegue a atravesar la superficie de separación pasando del medio más refrigente al menos refrigente.
Reflexión total
Puede ahora plantearse la siguiente cuestión: ¿Qué ocurre con los rayos tales como el SI'' cuyo ángulo r es >  . La experiencia demuestra que se reflejan en la dirección xy.
Se dice que experimentan una reflexión total, porque entonces la intensidad del haz reflejado es igual a la del haz incidente, en tanto que un rayo como el SI' no experimenta en I sino una reflexión parcial. Se evidencia este fenómeno del modo que representa la Fig. 48.

En la parte inferior de un flotador F se clava un alfiler A; el ojo cree percibir en A' la cabeza del alfiler. Esta experiencia constituye el principio de un método que permite calcular el valor de  , y, por tanto, el de n.
V. APLICACIONES
Refracción en un medio trasparente no homogéneo.
Cuando un rayo luminoso atraviesa un medio trasparente no homogéneo, deja de propagarse en línea recta. En efecto, el rayo en cuestión pasa a cada refrigente a otra dotada de un poder refrigente distinto, experimentado una serie de refracciones, de tal manera que trayectoria cesa de ser rectilínea para hacerse curvilínea. Así, cuando se observa un astro desde la superficie de la Tierra, el rayo que de él nos viene atraviesa, antes de llegar al ojo del observador, la atmósfera, cuyas capas inferiores son mucho más densas que las superiores (Fig. 49). Si el astro se


encuentra en A, el rayo AR se desvía en el momento en que penetra por MM', en la atmósera y sigue una dirección curvilínea RO. El observador situdado en O, no ve el astro en la dirección OA, sino en la dirección OA' de la tangente en O a la curva ORA. debe tenerse en cuenta este desplazamiento aparente de los astros en las observaciones astrnómicas.
 
Espejismo.
Por un fenómeno análogo se explican los espejismos. Se producen en las regiones en que la temperatura de las capas inferiores de la átmosfera es sensiblemente diferente a la de las capas situadas inmediatamente por encima; es decir, en los países cálidos, en los desiertos o al borde del mar. En un sobrecalentado, las capas de aire inmediatamente en contacto con él hasta una altura menor de un metro están más calientes que las capas superiores y, por consiguiente, son menos refrigentes. Un observador colocado en E (Fig. 50). ve la palmera en


la dirección, de AE; por ciertor rayos emitidos por el objeto y que le llegan por debajo de un cierto nivel ab, experimentan una seria de refracciones que les dan una trayectoria curvilínea, pudiendo llegar también al observador, que ve entonces una imagen del objeto por debajo del objeto mismo. Puede ocurrir también que los rayos originados en el extremo y en la base del objeto se crucen, y la imagen B aparezca invertida, creyendo entonces el observador que percibe el objeto reflejado sobre la superficie de una capa de agua. Este fenómenos se observa a menudo en tiempo de calor en las carreteras asfaltadas. Si las capas inferiores están, por el contrario, más frías que las capas superiores, como ocurre algunas veces cuando están en contacto con el mar, los rayos refractados siguen una trayectoría inversa, y la imagen se forma encima y no debajo del objeto. Pueden también ocurrir que se formen dos imágenes: una derecha y la otra invertida (Fig. 51). En cierto casos, se perciben así objetos que están por debajo del horizonte y que no se verían de no producirse este fenómeno.
Prismas de refleción total.
Estos prismas se caracterizan por su ángulo refrigente de 90 y los ángulos en la base de 45. Recordemos que el ángulo límite para el vidrio es de 42 aproximadamente. Resulta que estos valores del ángulo límite y del ángulo del prisma no existen las condiciones necesarias para que el rayo emerja. Las figuras 52 y 53 muestran la trayectoria

de un rayo luminoso a tráves de un prisma de reflexión total. Estos prismas se utilizan en diversos aparatos ópticos como espejos, superando a éstos en cuanto a:
a) rendimiento: los haces luminosos son reflejados íntegramente, mientras aún con los mejores espejos la reflexión es parcial;
b) imagen invariable: los espejos sufren deformaciones por flexión o dilatación;
c) superficie reflectora inalterable: la capa plateaa de los espejos se corroe o descascara.
Coducción de la luz. Juegos de agua iluminados.
Supongamos que se ilumina una barra acoada de vidrio o plexiglass por medio de un haz luminoso que cae en dirección normal a su sección. La luz penetra sin sufrir desviación ninguna hasta la curvatura de la barra, donde puede producirse una reflexión total (Fig. 54). Luego de una serie reflexiones el haz luminoso puede emerger de la barra y, al encontrar una pantalla, iluminarla. Esta propiedad se utiliza en algunos aparatos de exploración quirúrgica o clínica, construidos para la observación de órganos internos. El mismo principio se aprovecha para la obtención de hermosos efectos de luz en los juegos de agua iluminados.
 
Ejercicios.
1.- Varios medios transparentes tienen por índice de refracción con relación al aire, 1.3, 1.4 y 1.5. ¿Cuáles son los valores de los ángulos límites en dichos medios?
2.- El ángulo límite de un vidrio con relación al aire es de 40. ¿Cuál es el índice de dicho vidrio con relación al aire?
3.- En un cristalizador de paredes opacas se vierte el líquido cuyo índice se quiere determinar. En la superficie del líquido se hace flotar un disco, plano delgado, circular y opaco de 10 cm de radio, atravesando en centro A por una aguja vertical (Fig. 55). Se comprueba que el extremo E de esta aguja deja de ser visible a tráves de la superficie MN del líquido cuando la longitud sumergida es inferior a 12 cm. Calcular el índice del líquido.
CAPITULO
DIOPTRIO PLANO - LÁMINAS DE CARAS PARALELAS
I. DIOPTRIO PLANO
Se da el nombre de dioptrio plano a un sistema óptico formado por dos medios trasparentes de índices diferentes. La forma de la superficie que separa estos medios caracteriza del dioptrio.
Estudiaremos primero el caso más sencillo, el de los dioptrios planos (por ejemplo: aire y agua). Cuando se observa un objeto sumergido en agua, éste parece flojar por encima de su posición real, y el valor de este desplazamiento aparente es fácil de calcular. Sea, por ejemplo, el punto A que perece estar situado en A'. Como en el triángulo (Fig. 56):

De ambas igualdades (1) y (2) se deduce:

Pero si los ángulos son muy pequeños, como generalmente ocurre en la práctica, entonces podemos reemplazar las tangentes por los senos y escribir:

De donde:
Se deduce, pues, que, al atravesar una capa de espesor e y que índice

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